Negasi, Konjungsi, Disjungsi, dan Implikasi

1. Negasi/ Ingkaran

Negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan pernyataan asalnya, negasi dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p. Jika pernyataan p bernilai benar maka pernyataan ~p bernilai salah, begitu pun sebaliknya. Negasi dari suatu pernyataan berbeda-beda tergantung dari jenis pernyataannya. Negasi dari pernyataan tunggal cukup sederhana. Kita cukup membubuhkan kata "tidak" atau "bukan" untuk menyangkal atau mengingkari pernyataan asalnya. Sedangkan untuk negasi pernyataan majemuk dan negasi dari pernyataan berkuantor ada aturan tertentu untuk menentukan negasinya. Mari kita bahas satu persatu bagaimana menentukan negasi dari suatu pernyataan.

* Negasi Pernyataan Tunggal

Seperti sudah dijelaskan di atas, negasi dari pernyataan tunggal cukup sederhana. Kita tinggal membubuhkan kata tidak atau bukan pada pernyataan asalnya. Perhatikan contoh berikut.

p: Bandung adalah ibukota provinsi Jawa Barat.

Pernyataan p di atas bernilai benar, karena memang benar Bandung merupakan ibukota dari provinsi Jawa Barat. Negasi dari pernyataan p di atas adalah sebagai berikut.

~p: Bandung bukan ibukota provinsi Jawa Barat.

Negasi pernyataan p di atas yang dinotasikan dengan ~p merupakan pernyataan yang salah.

*Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi dari pernyataan majemuk adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya sama dengan negasi dari pernyataan majemuk asalnya. Contohnya, negasi dari pernyataan majemuk p v q adalah ~p^~q karena nilai kebenaran ~p ^ ~q sama dengan nilai kebenaran ~(p v q) [negasi pernyataan p v q]. Berikut ini adalah negasi dari masing-masing pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

•           ~(p v q) ≡ ~p ^ ~q

•           ~(p ^ q) ≡ ~p v ~q

•           ~(p → q) ≡ p ^ ~q

•           ~(p ↔ q) ≡ (p ^ ~q) v (q ^ ~p)

=> Negasi Pernyataan Berkuantor

        Pembahasan tentang pernyataan berkuantor, dapat dibaca di halaman ini. Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung kuantor, yaitu kuantor universal (semua, setiap) dan kuantor eksistensial (ada, beberapa). Negasi dari pernyataan berkuantor dijelaskan berikut ini.

•           ~(Semua x adalah y.) ≡ Ada x yang bukan y.

•           ~(Ada x yang merupakan y.) ≡ Semua x bukan merupakan y.

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Negasi dari pernyataan "Jika guru tidak hadir maka semua murid bersuka ria."

Jawaban:

                 Pernyataan majemuk di atas bisa ditulis sebagai p → q dengan

                 p: Guru tidak hadir.

                 q: Semua murid bersuka ria.

                 Negasi dari p → q adalah p ^ ~q atau ditulis ~(p → q) ≡ p ^ ~q

Berarti, negasinya menjadi "Guru tidak hadir tetapi (dan) ada murid yang tidak bersuka ria”.

Tabel nilai kebenaran negasi/ingkaran:

2. Konjungsi

   Konjungsi merupakan operasi logika yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p 

dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".

   Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan 

simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku 

dalam sistem konjungsi:

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.

Contoh :

p   : Agnes Monika adalah seorang penyanyi.

q   : Agnes Monika adalah seorang pelukis.

p^q: Agnes Monika adalah seorang penyanyi dan pelukis.

Tabel kebenaran Konjungsi:

3. Disjungsi

Disjungsi merupakan operasi logika yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:

          Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

           Disjungsi inklusif adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.

Contoh :

p      : Ani rajin belajar.

q      : Ani anak yang pintar.

p∨q  : Ani rajin belajar atau anak yang pintar.

            Di sini mempunyai dua pengertian:(1) Ani anak yang rajin belajar saja atau anak yang pintar saja tetapi tidak keduanya.

(2) Ani anak yang rajin belajar saja atau anak yang pintar saja tetapi mungkin juga keduanya.

Tabel nilai kebenaran disjungsi inklusif:

Disjungsi eksklusif adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :

p    : Dodo naik pesawat terbang.

q    : Dodo naik kapal laut.

p∨q: Dodo naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Dodo hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.

Tabel nilai kebenaran disjungsi eksklusif:

4. Implikasi

Implikasi adalah kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung "JIKA" p "MAKA" q. Implikasi disebut juga kalimat bersyarat tunggal artinya jika kalimat p bernilai benar maka kalimat q pun akan bernilai benar juga. Notasi dari implikasi adalah "=>"

p => q dapat dibaca dengan beberapa cara, di antaranya:

- Jika p maka q.

- q jika p.

- p adalah syarat yang cukup untuk q.

- q adalah syarat yang diperlukan untuk p.

Contoh implikasi :

premis 1(p): Anita kuliah di Universitas Binadarma. (BENAR)

premis 2(q): Anita adalah mahasiswa. (BENAR)

implikasi(p=>q): Jika Anita kuliah di Universitas Binadarma maka Anita adalah mahasiswa. (BENAR)**

Tabel kebenaran implikasi